Na filmovém plátně se Morgan objevoval většinou ve vedlejších rolích, například po boku Henryho Fondy, Johna Wayna, Jamese Garnera, Elvise Presleyho či Dana Akroyda. Objevil se například ve filmech Podporujte svého šerifa či Podporujte svého pistolníka.

Na televizní obrazovce ztvárňoval spíš komediální role, ale rovněž vedlejší. Nicméně za úlohu plukovníka Shermana Pottera, který velí nemocniční jednotce v seriálu MASH, získal cenu Emmy. Právě touto rolí se nejvíce proslavil.